hmmmm nie jestem pewien ale jak dla mnie to bardzo skomplikowane obliczanie będzie.. i właśnie dlatego są do tego programy
no ale skoro chcesz to masz
Prawdopodobieństwa układów kart
Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa odgrywa w pokerze zasadniczą rolę. Gracze po otrzymaniu kart - kalkują jaką mają szansę na dany układ po wymianie kart i na tej podstawie obstawiają. Należy jednak zauważyć, iż prawdopodobieństwo to może wynosić zero lub być niższe niż to zakładane przez gracza. Np. - gracz mający cztery karty w tym samym kolorze - karo (zakładając, iż grają trzy osoby) - chce mieć kolor i jako pierwszy dostanie kartę po wymianie. Zakładając, iż w takim układzie dostanie tą jedną kartę ze zbioru 37 pozostałych kart (52 - 15) to prawdopodobieństwo otrzymania karty w kolorze karo jest od 0 do 9/37 (0,2432) - pomimo iż intuicyjnie może się wydawać iż ta szansa wynosi 1/4 (są cztery kolory kart). Przedział takiego prawdopodobieństwa jest taki - dlatego, że pozostali gracze mogą mieć 9 kart w kolorze karo - wówczas w talii nie ma już kart karo. Można sobie wyobrazić drugi skrajny przypadek w którym to żaden z graczy nie ma ani jednej karty karo i pozostałe 9 kart tego koloru znajduje się w talii - wówczas szansa, iż gracz dostanie karo i będzie miał kolor wynosi 9 do 37. Wynika z tego wniosek, iż w pokerze gracze nie znają dokładnego prawdopodobieństwa - a jedynie mogą je szacować w zależności od ilości graczy.
Powyższa liczba możliwych układów - przy czym nie ma znaczenia kolejność w jakiej grający otrzymuje karty od rozdającego bierze się ze wzoru {52 \choose 5}.
Przykład wyprowadzania wzoru
Liczba układów z dokładnie jedną parą: 13\cdot{4 \choose 2 } {12 \choose 3}{4 \choose 1}^3 , gdyż by mieć dokładnie jedną parę (nie interesują nas wszystkie układy z jedną parą - tylko ten, gdzie mamy tylko parę) - należy mieć dwie karty ze zbioru 13 kompletów kart tej samej rangi - od dwójek do asów - przy czym nie interesuje nas jakiego koloru są to karty. Trzy kolejne karty - nie mogą mieć tej samej rangi co dwie poprzednie , dlatego muszą pochodzić ze zbioru 12 pozostałych kompletów - przy czym każda musi mieć inną rangę, każda jednak karta z każdej innej rangi może mieć dowolny kolor (stąd w zapisie wzoru 4*4*4 - można to również zapisać jako {4 \choose 1}^3).
Prawdopodobieństwa
Pozostałe układy:
* Poker królewski — specjalny rodzaj pokera (10, W, D, K, A) - w grze występują tylko cztery takie kombinacje. Dowód jest trywialny - w pokerze występują cztery kolory kart.
* Poker — w każdym kolorze występuje 10 możliwości ułożenia pokera.
{10 \choose 1}{4 \choose 1} = 40
* Kareta — 13 - tyle jest układów karety, w każdym z tych układów piąta karta jest dowolna.
{13 \choose 1}{4 \choose 4}{48 \choose 1} = 624
* Ful — układ składa się z trójki i pary. Możliwe są 52 trójki (13*4 - pierwsza część wzoru) oraz 12*6 par (druga część wzoru).
{13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 1}{4 \choose 2} = 3\,744
* Kolor — karty muszą być tego samego koloru - czyli ze zbioru 13 kart. Kolory są cztery stąd 4 po 1. Odejmujemy od tych kombinacji - 40 (bo tyle jest kombinacji pokerów) - bowiem poker też jest kolorem.
{13 \choose 5}{4 \choose 1} - 40 = 5\,108
* Strit — biorąc pod uwagę starszeństwo kart - jest dziesięć kombinacji strita. Każda karta może być dowolnego koloru. Od tej liczby odejmujemy 40, bowiem każdy poker jest też stritem.
{10 \choose 1}{4 \choose 1}^5 - 40 = 10\,200
* Trójka — uzasadnienie wzoru analogiczne jak w przypadku jednej pary.
{13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 2}{4 \choose 1}^2 = 54\,912
* Dwie pary — wybieramy cztery karty z dwóch różnych zbiorów takich samych kart. Wszystkich kombinacji dwóch par (nie licząc piątej dowolnej karty) jest 2808 - co jest uzasadnione tym, iż mając np. ułożyć dwie pary z 8 kart - czterech piątek i czterech szóstek - ułożymy 36 kombinacji - możemy bowiem z czterech piątek ułożyć 6 różnych par: pik trefl, pik karo, pik kier, trefl karo, trefl kier i kier karo. Analogicznie z szóstkami. A że dwie pary mogą być dowolne spośród zbioru 13 różnych (pod względem starszeństwa) kart - to daje 78 możliwości (łatwo sobie wyprowadzić te możliwości, dwie dwójki z dwoma trójkami, dwie dwójki z dwoma czwórkami itd. czyli (13*12)/2 - bo nie układ 3322 i 2233 jest taki sam). Piąta karta musi być wylosowana z 11 grup kart (pod względem starszeństwa), nie ze 13 - gdyż gdyby była tej samej rangi co dwie rangi występujące w parach - byłby Full House.
{13 \choose 2}{4 \choose 2}^2{11 \choose 1}{4 \choose 1} = 123\,552
* Para — patrz dowód w "Przykład wyprowadzania wzoru".
{13 \choose 1}{4 \choose 2}{12 \choose 3}{4 \choose 1}^3 = 1\,098\,240
* Wysoka karta — pierwsza część wzoru z nawiasu kwadratowego zakłada, że losujemy dowolne 5 kart z 13 ich rodzajów (pod względem starszeństwa) - wykluczając 10 kombinacji (kiedy karty są po kolei i występuje strit). Mając 5 kart, z których każdy ma inną rangę i nie jest to strit - mamy pewność, iż na pewno nie będzie pary, dwóch par, trójki, fula, karety ani pokera (bo nie ma strita). Druga część wzoru (w nawiasach kwadratowych) traktuje o tym, iż każda z tych pięciu kart może być dowolnego koloru (stąd 4 do potęgi 5) - ale odrzucamy 4 warianty, kiedy cztery karty są tego samego koloru (odejmujemy 4) - gdyż gdyby były mielibyśmy Kolor. Możemy również inaczej policzyć liczbę układów "Najwyższej karty" - odejmując od wszystkich możliwych układów - wszystkie powyższe układy: parę, dwie pary, trójkę, strita, kolor, fula, karetę i pokera.
\left[{13 \choose 5} - 10\right](4^5 - 4) = {52 \choose 5} - 1\,296\,420 = 1\,302\,540
źródło : Wikipedia
